本文是时间序列分析课程的作业，基于R、Rnw和Latex进行编写。   GARCH代码实现主要参考自《经济与金融计量方法：原理、应用案例及R语言实现》和对应包的官方文档，代码进一步整合，但每次执行时可能需要较长的时间，建议执行完后将结果导出成excel。如果本文存在问题，随时欢迎交流~

  沪深300指数，是由沪深证券交易所于 2005 年 4 月 8 日联合发布的反映沪深 300 指数编制目标和运行状况的金融指标，并能够作为投资业绩的评价标准，为指数化投资和指数衍生产品创新提供基础条件。因此，本次数据来源于网易财经，研究的数据集对象是沪深 300 指数（股票代码为000300），此次分析选取了沪深 300 指数2000 年1月到2019年12月的工作日收盘价格数据。

  为了分析数据的波动情况，对其进行对数化和差分得到对数收益率，下图为沪深 300 指数的收盘价时序图和对数收益率时序图。

  Augmented Dickey-Fuller Test (ADF) 是 DF 检验的拓展形式，可以对存在高阶滞后的序列进行单位根检验，原假设存在单位根，即序列不平稳。本文使用adf.test()进行单位根检验，检验结果如下所示，p 值远小于 0.01 说明拒绝原假设，即序列是平稳的。

  序列平稳后，使用auto.arima()对序列自动识别均值模型。

  上述建立模型后，对残差进行ARCH效应检验。Ljung-Box统计量 Q ( m ) Q(m) Q(m)对残差序列进行自相关检验。原假设是序列不存在自相关，在残差的平方序列中可以检验条件异方差。

  上述ARCH效应表明，条件方差是依赖于过去值。因此可以考虑GARCH模型对方差方程进行参数估计。

  上述的模型考虑的是 A R I M A ( 0 , 0 , 0 ) ARIMA(0,0,0) ARIMA(0,0,0)的标准 G A R C H ( 1 , 1 ) GARCH(1,1) GARCH(1,1)模型，即均值模型的参数均设置为0。而从均值模型的分析来看，可以拟合 A R I M A ( 4 , 0 , 4 ) ARIMA(4,0,4) ARIMA(4,0,4)的均值模型与 G A R C H ( 1 , 1 ) GARCH(1,1) GARCH(1,1)的方差模型。而上述的正态性检验结果表明，残差的分布不适用标准正态分布，应该考虑其他类型的分布。

  从拟合的模型结果来看，非对称类型的指数GARCH模型在最大似然估计值达到最大，同时AIC和BIC都能达到最小，说明指数GARCH模型比较好。从拟合的模型残差分布来看，非正态分布的AIC和BIC都明显低于正态分布，说明残差是服从重尾类型的分布。

  从模型拟合的系数显著性表可以看出，拟合的系数基本都显著，仅有少数参数不显著。从系数稳定性的个别检验和联合检验可以看出，在5%显著性水平下正态分布、偏正态分布、广义误差分布和偏广义误差分布都接收参数是稳定的原假设。从符号偏误检验的结果来看，指数GARCH模型正负残差的受到冲击的差异不明显，说明该非对称模型有效消除了杠杆效应。从调整皮尔逊拟合优度检验的结果来看，原假设是残差分布与理论分布没有差异，结果表明广义误差分布和偏广义误差分布是没有拒绝原假设，说明这两种分布与模型适配较好。

  从模型拟合的信息准则表来看，偏广义误差分布的LLH达到最大，而BIC和HQ都达到最小，说明 A R M A ( 4 , 4 ) − e G A R C H ( 1 , 1 ) − S G E D ARMA(4,4)-eGARCH(1,1)-SGED ARMA(4,4)−eGARCH(1,1)−SGED模型最优。拟合 A R M A ( 4 , 4 ) − E G A R C H ( 1 , 1 ) − S G E D ARMA(4,4)-EGARCH(1,1)-SGED ARMA(4,4)−EGARCH(1,1)−SGED模型，理论模型和模型参数估计及显著性如下所示。 X t = ∑ i = 1 p φ i X t − i − ∑ j = 1 q ϑ j ε t − j + ε t z t = ε t σ t = X t σ t l n σ t 2 = ω + α z t − 1 + β l n σ t − 1 2 + γ ( ∣ ε t − 1 ∣ σ t − 1 − E ∣ z t − 1 ∣ ) 其 中 ， ε t ∼ S G E D ( 0 , 1 , s h a p e , s k e w ) \begin{aligned} X_t &= \sum \limits _{i=1}^{p}\varphi_i X_{t-i} - \sum \limits _{j=1}^{q} \vartheta_j \varepsilon_{t-j} + \varepsilon_t \\ z_t &= \frac{\varepsilon_t}{\sigma_t} = \frac{X_t}{\sigma_t} \\ ln\sigma_t^2 &= \omega +\alpha z_{t-1} + \beta ln\sigma ^2_{t-1} + \gamma (\frac{|\varepsilon_{t-1}|}{\sigma _{t-1}} - E|z_{t-1}|) \\ 其中，& \varepsilon_t \sim SGED(0,1,shape, skew) \end{aligned} Xt​zt​lnσt2​其中，​=i=1∑p​φi​Xt−i​−j=1∑q​ϑj​εt−j​+εt​=σt​εt​​=σt​Xt​​=ω+αzt−1​+βlnσt−12​+γ(σt−1​∣εt−1​∣​−E∣zt−1​∣)εt​∼SGED(0,1,shape,skew)​

  本文通过对沪深300指数的波动性分析发现，我国股票市场有两段时间出现较大的波动。第一次波动出现在2008年前后，这段期间为全球金融危机，明显可以看出收盘价时序图出现明显的陡峭的波峰，持续时间较长；第二次波动出现在2015年前后，该阶段是由于杠杆资金的加入和政策收紧，形成短暂的牛市和熊市，波动程度不亚于2008年金融危机，但持续时间比较短。   本文使用多个GARCH模型进行比对，发现非对称模型 A R I M A − E G A R C H ARIMA-EGARCH ARIMA−EGARCH模型与沪深300指数的对数收益率有较高的匹配度，同时偏广义误差分布与理论分布较为接近，说明沪深300指数的波动性呈现的是尖峰厚尾、非对称性特征，说明我国股票市场存在杠杆效应。